S-a născut la 25 aprilie 1880 în colonia Landau, din Ucraina, într-o familie germană deportată în sudul Rusiei ţariste. A studiat în seminarul din Saratov şi apoi în Colegiul „Germanicum” din Roma, unde şi-a luat doctoratul în filozofie şi teologie. În ziua de 24 iunie 1905 a fost sfinţit preot la Minsk. Între 1907 şi 1916 a fost vicerector şi profesor de dogmatică la seminarul din Saratov şi canonic al bisericii catedrale din aceeaşi localitate. În 1916 a fost transferat ca paroh de Chişinău şi protopop al Basarabiei. Datorită activităţii sale deosebite, la 5 februarie 1924 a fost numit camerier papal, iar la 31 octombrie 1930 a fost înscris între prelaţii Sfântului Scaun. La 1 septembrie 1939 a fost numit rector al seminarului din Iaşi, iar la 26 iulie 1942 a fost numit superior al Misiunii Catolice din Transnistria, cu reşedinţa la Odessa. În această calitate, a fost consacrat episcop la 25 iulie 1943.

Din cauza luptelor de pe frontul de est, episcopul Glaser s-a refugiat în România, iar Sfântul Scaun a considerat oportună, pentru moment, numirea sa ca administrator apostolic al Diecezei de Iaşi (de la 18 octombrie 1944 până la reglementarea situaţiei), desemnându-l ca episcop titular de Caesaropolis. Sfinţia sa a avut misiunea grea de a reface viaţa bisericească din Moldova, mult afectată în timpul războiului. În toamna anului 1945 a reuşit să redeschidă seminarul din Iaşi, însă în clădirile de pe lângă episcopie, deoarece edificiul de pe Copou era în mare parte distrus.

Episcopul Glaser a rămas în fruntea Diecezei de Iaşi până la numirea episcopului Anton Durcovici, după care a fost ales vicar general al acestuia. După arestarea episcopului Durcovici (26 iunie 1949), chiar dacă situaţia politică era nefavorabilă, episcopul Marcu Glaser a preluat conducerea Diecezei de Iaşi în aceeaşi calitate, de administrator apostolic. Atitudinea lui a displăcut autorităţilor comuniste, motiv pentru care, în luna mai 1950, i s-a emis mandat de arestare. Această veste l-a afectat atât de mult încât, în urma unui atac de cord, a murit la 25 mai acelaşi an şi a fost înmormântat în Cimitirul „Eternitatea” din Iaşi.