S-a născut la 19 iulie 1927 în Iaşi. După absolvirea şcolii primare a fost admis în Seminarul din Iaşi. Din cauza condiţiilor politice a trebuit să-şi termine formarea teologică în Seminarul din Alba-Iulia, pe care l-a absolvit în anul 1953, fiind sfinţit preot în acelaşi oraş, la 29 iunie. După hirotonirea preoţească a rămas la Alba-Iulia ca prefect şi profesor de istoria Bisericii.

O dată cu redeschiderea Seminarului din Iaşi (3 octombrie 1956), părintele Despinescu a fost numit profesor de limba latină, istoria Bisericii şi patrologie, până în anul 1960, când a fost numit paroh de Focşani şi apoi transferat la Huşi (1962-1969). La 1 septembrie 1969 a fost numit din nou profesor în Seminarul diecezan, iar în septembrie 1971, după moartea fulgerătoare din 9 iulie 1971 a părintelui Gaspar Bachmeier, a fost numit rector girant. A îndeplinit această misiune până la 1 septembrie 1972, când conducerea Seminarului din Iaşi i-a fost încredinţată părintelui Eduard Ferenţ. După această dată, părintele Anton Despinescu a rămas profesor până în anul 1979, când a plecat în Italia pentru specializare. În anul 1980 a obţinut doctoratul în istoria Bisericii la Pontificia Università Urbaniana din Roma. Întors în ţară, a rămas profesor în Seminarul din Iaşi, îndeplinind şi alte servicii în cadrul Episcopiei Catolice de Iaşi.